第6章 贪心算法华体会- 华体会体育- 体育官网

2025-05-03 17:30:05

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　　下面来看看0-1背包问题。 给定一个最大载重量为M的卡车和N种动物。已知第i种动物的重量为Wi， 其最大价值为Vi，设定M，Wi，Vi均为整数，编程确定一个装货方案，使得装 入卡车中的所有动物总价值最大。 【分析】对于n种动物，要么被装，要么不装，也就是说在满足卡车载重的 条件下，如何选择动物，使得动物价值最大的问题。 即确定一组x1，x2，…，xn， xi∈{0,1} f(x)=max(∑xi*vi) 其中，∑(xi*wi)≦w 从直观上来看，我们可以按照上例一样选择那些价值大，而重量轻的动物。 也就是可以按价值质量比（vi/wi）的大小来进行选择。可以看出，每做一次选 择，都是从剩下的动物中选择那些vi/wi最大的，这种局部最优的选择是否能满 足全局最优呢？我们来看看一个简单的例子： 设n=3，卡车最大载重量是100，三种动物a、b、c的重量分别是40，50， 70，其对应的总价值分别是80、100、150。 情况a：按照上述思路，三种动物的vi/wi分别为2,2,2.14。显然，我们首先 选择动物c，得到价值150，然后任意选择a或b，由于卡车最大载重为100，因 此卡车不能装载其他动物。 情况b：不按上述约束条件，直接选择a和b。可以得到价值80100=180， 卡车装载的重量为4050=90。没有超过卡车的实际载重，因此也是一种可行 解，显然，这种解比上一种解要优化。

　　因此，利用贪心策略解题，需要解决两个问题： 首先，确定问题是否能用贪心策略求解；一般来说，适用于贪心策略 求解的问题具有以下特点： ①可通过局部的贪心选择来达到问题的全局最优解。运用贪心策略解 题，一般来说需要一步步的进行多次的贪心选择。在经过一次贪心选择之 后，原问题将变成一个相似的，但规模更小的问题，而后的每一步都是当 前看似最佳的选择，且每一个选择都仅做一次。 ②原问题的最优解包含子问题的最优解，即问题具有最优子结构的性 质。在背包问题中，第一次选择单位重量价值最大的货物，它是第一个子 问题的最优解，第二次选择剩下的货物中单位重量价值最大的货物，同样 是第二个子问题的最优解，依次类推。 ③其次，如何选择一个贪心标准？正确的贪心标准可以得到问题的最 优解，在确定采用贪心策略解决问题时，不能随意的判断贪心标准是否正 确，尤其不要被表面上看似正确的贪心标准所迷惑。在得出贪心标准之后 应给予严格的数学证明。

　　【例5】删数问题（NOI94） 输入一个高精度的正整数N，去掉其中任意S个数字后剩下的数字按原左右 次序组成一个新的正整数。编程对给定的N和S，寻找一种方案使得剩下的数字 组成的新数最小。 输出新的正整数。（N不超过240位）输入数据均不需判错。 【输入】 n s 【输出】 最后剩下的最小数。 【样例输入】 175438 4 【样例输出】 13 【算法分析】 由于正整数n的有效数位为240位，所以很自然地采用字符串类型存贮n。 那么如何决定哪s位被删除呢？是不是最大的s个数字呢？显然不是，大家很容 易举出一些反例。为了尽可能逼近目标，我们选取的贪心策略为：每一步总是 选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低位的顺序搜索，若各位数 字递增，则删除最后一个数字；否则删除第一个递减区间的首字符，这样删一 位便形成了一个新数字串。然后回到串首，按上述规则再删下一个数字。重复 以上过程s次为止，剩下的数字串便是问题的解了。

　　【例1】在N行M列的正整数矩阵中，要求从每行中选出1个数，使得选出的总共N个 数的和最大。 【算法分析】 要使总和最大，则每个数要尽可能大，自然应该选每行中最大的那个数。因此， 我们设计出如下算法: 读入N, M,矩阵数据； Total = 0; for (int l= 1; l= N; l) { //对N行进行选择 选择第I行最大的数,记为K； Total =K； } 输出最大总和Total； 从上例中我们可以看出，和递推法相仿，贪心法也是从问题的某一个初始解出发， 向给定的目标递推。但不同的是，推进的每一步不是依据某一固定的递推式，而是做 一个局部的最优选择，即贪心选择（在例中，这种贪心选择表现为选择一行中的最大 整数），这样，不断的将问题归纳为若干相似的子问题，最终产生出一个全局最优解。 特别注意的是，局部贪心的选择是否可以得出全局最优是能否采用贪心法的关键 所在。对于能否使用贪心策略，应从理论上予以证明。下面我们看看另一个问题。

　　【例6】拦截导弹问题（NOIP1999） 某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统，但是这种拦 截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每 一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，由 于该系统还在试用阶段。所以一套系统有可能不能拦截所有的导弹。 输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度不大于30000的正整数）。 计算要拦截所有导弹最小需要配备多少套这种导弹拦截系统。 【输入格式】 n颗依次飞来的高度（1≤n≤1000）. 【输出格式】 要拦截所有导弹最小配备的系统数k。 【输入样例】389 207 155 300 299 170 158 65 【输出样例】missile.out 2 【输入输出样例】 输入：导弹高度： 7 9 6 8 5 输出：导弹拦截系统K=2 输入：导弹高度： 4 3 2 输出：导弹拦截系统K=1

　　【例4】均分纸牌（NOIP2002） 有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，但纸牌总数必 为 N 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。 移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在 编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1 的堆上；其他堆上取的纸牌， 可以移到相邻左边或右边的堆上。 现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。 例如 N=4，4 堆纸牌数分别为： ① 9 ② 8 ③ 17 ④ 6 移动3次可达到目的： 从 ③ 取4张牌放到④（9 8 13 10）-从③取3张牌放到 ②（9 11 10 10） 从②取1张牌放到①（10 10 10 10）。 【输入格式】 N（N 堆纸牌，1 = N = 100） A1 A2 … An （N 堆纸牌，每堆纸牌初始数，l= Ai =10000） 【输出格式】 所有堆均达到相等时的最少移动次数。 【样例输入】Playcard.in 4 9 8 17 6 【样例输出】Playcard.out 3

　　有N个人排队到R个水龙头去打水，他们装满水桶的时间为T1，T2，…，Tn为整数且 各不相等，应如何安排他们的打水顺序才能使他们花费的时间最少？ 【算法分析】 由于排队时，越靠前面的计算的次数越多，显然越小的排在越前面得出的结果越小 （可以用数学方法简单证明，这里就不再赘述），所以这道题可以用贪心法解答，基本步 骤： (1)将输入的时间按从小到大排序； (2)将排序后的时间按顺序依次放入每个水龙头的队列中； (3)统计，输出答案。 【样例输出】 【样例输入】 23 //总共花费时间 4 2 //4人打水，2个水龙头 2 6 4 5 //每个打水时间 参考程序主要框架如下： cinnr; memset(s,0,sizeof(s)); //初始化 j=0; min=0; for (i=1;i=n;i) //用贪心法求解 { j; if (j==r1) j=1; s[j]=a[i]; min=s[j]; } coutmin; //输出解答

　　【算法分析】 如果你想到把每堆牌的张数减去平均张数，题目就变成移动正数，加 到负数中，使大家都变成0，那就意味着成功了一半！拿例题来说，平均张 数为10,原张数9，8，17，6，变为-1，-2，7，-4，其中没有为0的数，我 们从左边出发：要使第1堆的牌数-1变为0，只须将-1张牌移到它的右边 （第2堆）-2中；结果是-1变为0，-2变为-3，各堆牌张数变为0，-3，7，-4； 同理：要使第2堆变为0，只需将-3移到它的右边（第3堆）中去，各堆牌张 数变为0，0，4，-4；要使第3堆变为0，只需将第3堆中的4移到它的右边 （第4堆）中去，结果为0，0，0，0，完成任务。每移动1次牌，步数加1。 也许你要问，负数张牌怎么移，不违反题意吗？其实从第i堆移动-m张牌到 第i1堆，等价于从第i1堆移动m张牌到第i堆，步数是一样的。 如果张数中本来就有为0的，怎么办呢？如0，-1，-5，6，还是从左算 起（从右算起也完全一样），第1堆是0，无需移牌，余下与上相同；再比 如-1，-2，3，10，-4，-6，从左算起，第1次移动的结果为0，-3，3，10， -4，-6；第2次移动的结果为0，0，0，10，-4，-6，现在第3堆已经变为0 了，可节省1步，余下继续。

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